大約公元前400年前后，認識古希臘的平行畢達哥拉斯學派，行將拉上帷幕。認識然而，平行畢達哥拉斯學派，認識在數學上留給后人的平行成就，無疑是認識重要的，也是平行偉大的。畢氏學派最先認識到，認識數學的平行對象，應該首先研究抽象的認識概念，認為了數與圖形是平行抽象的思維。畢氏在研究數與圖形的認識關系中，最為得意的平行是發現了直角三角形中，邊與數之間的認識確定關系，即畢達哥拉斯定理（勾股定理）。這個定理堪稱是數與圖形的完美結合，由此，進一步發現了：在直角邊可以公度的等腰直角三角形中，斜邊與直角邊兩者不可公度，即等腰直角三角形斜邊的長，是無理數。無理數的發現與證明，歷史上歸功于畢氏學派中的數學家希帕索斯（Hippasus,公元前500年左右）先生。畢氏學派的這一發現，直接導致了 第一次數學危機 的發生。

這個關于無理數的證明，是發生在公元前500年左右的古希臘，是用畢達哥拉斯定理（勾股定理）證明的。而畢達哥拉斯定理是文明的人類社會中，一個必不可少的重要定理。畢氏學派的關于無理數證明，當時采用了反證法（歸謬法），具體如下：

在等腰直角三角形中，設斜邊為 ；直角邊為 。若斜邊與直角邊兩者可以公度，那么，有 / ，并且 / 是既約分數。于是，根據畢氏定理，有 2= 2+ 2=2 2。

因為 2是偶數，所以 是偶數，可以設 =2 。因為 / 是既約分數，所以 是奇數。因為 2=4 2=2 2，所以2 2= 2，于是得知 2是偶數，所以 是偶數。
一個數 ，它既是偶數，同時又是奇數，這就自相矛盾了。所以，等腰直角三角形中的斜邊不可公度。于是，無理數得到了證明。
證明的過程是如此的簡單明了，無懈可擊。可是，雖然無理數的存在，被證明了，但是，當時的人因此而困惑。因此而改變了對世界的認知。然而，人們并不因為困惑而停止了研究。而是因為困惑，積極地去思考這樣的一個問題：數與數之間到底是離散的，還是連續的，以及離散與連續的關系。有關這些問題的思考，是二千五百年前古希臘人提出的，并且還提出了認識這些問題的各種途徑，關于這些問題，以及由這些問題而引伸出的無數課題，直接影響著人們的思想，尤其是認識論方面。當然，關于這些問題，在當時沒有圓滿的結論，直到現在，也沒有圓滿的結論，人類與人類的思辨共存。
大約在公元前300年前后，約二千三百年前，古希臘的歐幾里德先生（Euclid,古希臘人，約公元前330年 前275年）登場了。人們對于歐幾里德先生的生平，并不詳細。據公元5世紀的希臘人普羅克洛斯（Proclus，公元410 485年）記載，歐幾里德先生是在柏拉圖（Plato，古希臘人，公元前427 347年）的學院中讀的書。柏拉圖學院是一所，約二千四百年前開辦的綜合性學校，是慈善基金開辦的免費學校。歐幾里德總結了前人的數學，并且在前人的基礎上，從幾何出發，建立了一套邏輯演繹推理系統。歐幾里德先生的這套系統，后人稱之謂 歐幾里德幾何 ，簡稱 歐氏幾何 。
歐氏幾何除了若干個定義以外，由5個公設，5個公理為基礎。公設與公理的區別，亞里士多德（Aristotle,古希臘人，公元前384 322年）先生認為：公理適用于一切科學的真理，公設只應用于幾何。
于是，問題來了。在歐氏幾何的5個公設中，其中第5公設看起來不是很一目了然，似乎有點像定理。歐氏幾何的第5個公設所述： 若一直線與兩直線相交，且若同側所交兩內角之和小于兩直角，則兩直線無限延長后必相交于該側的一點 。這就是俗稱的歐氏 平行線公理 。
自從歐氏幾何問世后，其中的第5公設受到了普遍的爭議。爭議的焦點是：（1）假如是公設，那么不是很一目了然，（2）假如是定理，那么，一定可以用其它公設和公理加以證明。遺憾的是，人們二千多年來，試圖了種種嘗試和努力，其證明的結果統統以失敗而告終。以致有人懷疑第5公設，是歐氏為了 歐氏幾何 ，而自己搞出來的，如果這是真的話，那么歐幾里德先生太了不起了，其實，歐幾里德先生確實了不起。
歐幾里德先生在二千三百年前，把我們眼睛所見的物質世界及其聯系，思想了用邏輯演繹推理的方法表達出來，這就是所謂的歐氏幾何。歐氏幾何也就是我們在中學里，所學習的 平面幾何 和 立體幾何 。
可是，在我的中學學習階段，盡管學到一些有關點、線、面、體等之類，幾何中的一點點皮毛知識，而對于在二千三百年前，世界上還有一個名叫歐幾里德的人，卻是全然不知的。后來，當我的父母偷偷的小心翼翼的將歐幾里德，以及歐幾里德對人類所做的貢獻，告訴了我后。我在上海的舊書店， 福州路舊書店 里的一個角落里，找到了一本國人翻譯編寫的歐氏幾何書，并且買回家來自學。可以說，在我進入系統學習純粹數學和物理數學之前，我的全部數學和物理學的知識，基本都是通過自學獲得。所以，我真誠地對我的后代說，要珍惜每一次的學習機會。當然，這是題外話了。
然而， 第5公設 的問題，在19世紀高斯先生（Gauss,德國人，公元1777 1855年）、羅巴切夫斯基先生（Lobatchevsky，俄國人，公元1793 1856）等人登場之前，始終是個問題。歐氏第5公設的問題在于：這個公設與諸多的命題等價，例如（1）三角形內角之和等于兩直角，即180度；（2）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；同旁內角互補，等等。也就是說，歐氏第5公設是歐氏幾何中的一個命題，一個獨立的命題，這個命題，可以由其它的命題來證明，例如：由羅巴切夫斯基先生所給出的幾何，來加以證明，是羅巴切夫斯基幾何的特例，因此不應該是公設。并且，在羅巴切夫斯基幾何中，三角形內角之和恒小于兩直角。高斯先生也認為 三角形的三個頂點無論取多么長，它的面積可能永遠小于一定的極限 ，也就是說，三角形的邊長不斷的增加，其內角之和將減少。由此，建立起了沒有歐氏第5公設的幾何。后來，人們把沒有歐氏第5公設的幾何，稱之為 非歐幾何 ，這是因為歐氏第5公設是歐氏幾何所必須的。
人們就是這樣的思想，這樣的堅忍不拔，這樣的前赴后繼。經過了二千一百多年的努力，到了19世紀，終于搞清楚了歐氏幾何關于第5公設的疑問，人們最終認識了 平行線公理 ，爭論也就此結束。并且，由此而誕生出了 非歐幾何 。從此，人們從一個新的高度，來觀測世界，來認識我們所處的宇宙空間。這是因為，在非歐幾何出現之前，人們普遍認為，眼前的物質世界和宇宙空間，等同于歐氏幾何。現在，19世紀非歐幾何的出現，人們改變了這一看法。所有這一切的認知與發展，最終導致了20世紀初，愛因斯坦（Einstein，德國人，公元1879 1955年）相對論的誕生。
古代中國的孔子先生（春秋魯國人，公元前551 479年），在二千五百年前的東方，建立了一所具有規模的私立學堂。這所學堂的性質，與相近時期古希臘的柏拉圖學院類似，類似之處在于，前來讀書的學生，可以是無條件的免費。可是，孔子學堂除了教授人文哲學之外，沒有自然哲學和科學。雖然師生們也善于思辨，但不完全，因為少了自然哲學和科學，不免顯得蒼白無力。因此，我以為，這是一個缺損，由于這個缺損，使得公元前西漢朝的董仲舒（公元前179 104年）有機可乘，可以輕而易舉的建立 董仲舒的儒家學說 ，漢武帝也因此可以輕而易舉的 罷黜百家，獨尊儒術 。從此，國人逐漸喪失了自先秦以來，僅剩的一點思辨能力，更不要說批判精神了。國人對于宇宙的認識，也僅局限在了 天圓地方 之中。諸子百家只剩下了儒家，況且，這個儒家還是董仲舒們的。
人文哲學與科學，是人類文明發展的兩大支柱。至于 董仲舒的儒家學說 ，乃至以后發展出來的 程朱理學 ，關于這些學問，對于國人的發展與影響，仁者見仁，智者見智。不過，我想，一個依靠其他人的貢獻的人，是挺不起胸堂的，哪怕你腰纏萬貫。
二0一二年四月