【民辦大學】

三角函數知識點解題方法總結

一、高中見“給角求值”問題，角函解題運用“新興”誘導公式 一步到位轉換到區間（-90o，數解90o）的題模公式.

1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；

2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；

3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；

4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).

二、見“sinα±cosα”問題，型高運用三角“八卦圖”

1.sinα+cosα 0(或 0)óα的中角終邊在直線y+x=0的上方（或下方）;

2.sinα-cosα 0(或 0)óα的終邊在直線y-x=0的上方（或下方）;

3.|sinα| |cosα|óα的終邊在Ⅱ、Ⅲ的函數區域內;

4.|sinα| |cosα|óα的終邊在Ⅰ、Ⅳ區域內.

三、高中見“知1求5”問題，角函解題造Rt△，數解用勾股定理，題模熟記常用勾股數（3，型高4，中角5），函數（5，高中12，13），（7，24，25），仍然注意“符號看象限”。

四、見“切割”問題，轉換成“弦”的問題。

五、“見齊思弦”= “化弦為一”：已知tanα,求sinα與cosα的齊次式，有些整式情形還可以視其分母為1，轉化為sin2α+cos2α.

六、見“正弦值或角的平方差”形式，啟用“平方差”公式：

1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;

2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.

七、見“sinα±cosα與sinαcosα”問題，起用平方法則：

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故

1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),則2sinαcosα=t2-1=sin2α;

2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),則2sinαcosα=1-t2=sin2α.

八、見“tanα+tanβ與tanαtanβ”問題，啟用變形公式:

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？

九、見三角函數“對稱”問題，啟用圖象特征代數關系：(A≠0)

1.函數y=Asin(wx+φ)和函數y=Acos(wx+φ)的圖象，關于過最值點且平行于y軸的直線分別成軸對稱；

2.函數y=Asin(wx+φ)和函數y=Acos(wx+φ)的圖象，關于其中間零點分別成中心對稱；

3.同樣，利用圖象也可以得到函數y=Atan(wx+φ)和函數y=Acot(wx+φ)的對稱性質。

十、見“求最值、值域”問題，啟用有界性，或者輔助角公式：

1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;

2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);

3.asinx+bcosx=c有解的充要條件是a2+b2≥c2.

十一、見“高次”，用降冪，見“復角”，用轉化.

1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等

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三角函數模型歸納

有關三角函數的運算，當只出現一個未知角，但伴隨與特殊角的組合或多種三角函數綜合使用使三角運算豐富多樣，要解決這些問題，我們需要掌握一個基本原則，那就是“化簡”，使用的公式包括同角三角函數基本關系式和誘導公式.

同角三角函數基本關系式有兩個：sin2α+cos2α=1，tanα=sinα

cosα在使用同角三角函數基本關系式的時候需

要注意：（1）多種函數同時出現時，要正切化弦；（2）正余弦互求時，通過角的范圍確定正負．誘導公式比較多，總的口訣是：“奇變偶不變，符號看象限”，其中“奇偶”是指在未知角上附加的角是π2的多少倍，如果是奇數倍，名稱需要改變，如果是偶數倍，名稱不改變；“符號看象限”是指借助當未知角為銳角時，組合角所在象限所決定的三角函數的正負，來確定是否添加負號.例如sin(π2+α)中，未知角α上附加的角符號看象限是π2的一倍

三角函數解題心得技巧

理解記憶，結合圖像理解，開始慢點寫，一步一步來，建系、畫圖，甚至描點之類的。了解為什么要這么做，這么做有什么好處。然后記憶公式，多做題目，也別盲目做題，要做那些經典例題，1-2題，到位就行了，理解就夠了，做多了反而浪費時間。

三角函數要記住三角恒等變換的一些式子，最好記下和差化積、積化和差公式（記不住不是什么大問題），記住輔助角公式，然后在腦海中自然建立模型。知道平移之類的，就差不多夠了。最值問題就是[-1,1]最常見啦。

技巧追求的太多就發現，最終所有的技巧都來源于熟練和思考，而別人指點的技巧用處不大。我是數學老師。如果硬說技巧，首先公式和函數圖象要非常熟悉，這樣才能在用的時候自然聯想到該題是沖著哪個公式出的。做題不要盲目貪多，做完了要思考，主要思考，我到底是哪里沒想到，為什么是這么想。數學主要練習的是一種思維。

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