2017年焦作中招數學試卷答案解析及word文字版下載（難度系數點評）

一、焦作解析及選擇題（每小題3分，中招字版共24分）
1．計算（﹣2）+（﹣3）的數學試卷結果是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
2．如圖所示的幾何體是由一個正方體切去一個小正方形成的，從左面看到的答案點評平面圖形為（ ）

A．B．C．D．
3．移動互聯網已經全面進入人們的日常生活，截至1月，下載系數全國4G用戶總數達到3.86億，難度其中3.86億用科學記數法表示為（ ）
A．3.86×104B．3.86×106C．3.86×108D．0.162×109
4．如圖，焦作解析及直線a∥b，中招字版一塊含60°角的數學試卷直角三角板ABC（∠A=60°）按如圖所示放置．若∠1=55°，則∠2的答案點評度數為（ ）

A．105°B．110°C．115°D．120°
5．不等式組的整數解的個數為（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．為了解某社區居民的用電情況，隨機對該社區10戶居民進行了調查，下載系數下表是難度這10戶居民4月份用電量的調查結果：
居民（戶）1324
月用電量（度/戶）40505560
那么關于這10戶居民月用電量（單位：度），下列說法錯誤的焦作解析及是（ ）
A．中位數是55B．眾數是60C．方差是29D．平均數是54
7．已知二次函數y=﹣x2﹣7x+，若自變量x分別取x1，中招字版x2，數學試卷x3，且0＜x1＜x2＜x3，則對應的函數值y1，y2，y3的大小關系正確的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1
8．如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內切圓，現將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG．點F，G分別在邊AD，BC上，連結OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則下列結論不成立的是（ ）

A．CD+DF=4B．CD﹣DF=2﹣3C．BC+AB=2+4D．BC﹣AB=2

二、填空題（每小題3分，共21分）
9．計算+（﹣1）2017= ．
10．如圖，根據陰影面積的兩種不同的計算方法，驗證了初中數學的哪個公式．答： ．

11．有大小、形狀、顏色完全相同的5個乒乓球，每個球上分別標有數字1，2，3，4，5中的一個，將這5個球放入不透明的袋中攪勻，如果不放回的從中隨機連續抽取兩個，則這兩個球上的數字之和為偶數的概率是 ．
12．在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，分別以A、C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧交于M、N兩點，作直線MN交AB于D、交AC于E，則∠DCB的度數為 度．

13．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，設點P（1，t）在反比例函數y=的圖象上，過點P作直線l與x軸平行，點Q在直線l上，滿足QP=OP．若反比例函數y=的圖象經過點Q，則k= ．
14．如圖，在△ABC中，AB=6，將△ABC繞點B順時針旋轉60°后得到△DBE，點A經過的路徑為弧AD，則圖中陰影部分的面積是 ．

15．實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1：2：1，用兩個相同的管子在容器的5cm高度處連通（即管子底端離容器底5cm）．現三個容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如圖所示．若每分鐘同時向乙和丙注入相同量的水，開始注水1分鐘，乙的水位上升cm，則開始注入 分鐘的水量后，甲與乙的水位高度之差是0.5cm．


三、解答題（共75分）
16．在學習分式計算時有這樣一道題：先化簡÷，再選取一個你喜歡且合適的數代入求值．張明同學化簡過程如下：
解：÷
=÷（ ）
=（ ）
=（ ）
（1）在括號中直接填入每一步的主要依據或知識點；
（2）如果你是張明同學，那么在選取你喜歡且合適的數進行求值時，你不能選取的數有 ．
17．唐詩是我國古代文化中的隗寶，某市教育主管部門為了解本市初中生對唐詩的學習情況，進行了一次唐詩背誦大賽，隨機抽取了部分同學的成就（x為整數，總分100分），繪制了如下尚不完整的統計表．
組別成績分組（單位：分）頻數頻率
A50≤x＜60400.10
B60≤x＜7060c
C70≤x＜80a0.20
D80≤x＜901600.40
E90≤x≤100600.15
合計b1
根據以上信息解答下列問題：
（1）統計表中a= ，b ，c= ；
（2）扇形統計圖中，m的值為 ，“D”所對應的圓心角的度數是 （度）；
（3）若參加本次背誦大賽的同學共有8000人，請你估計成績在90分及以上的學生大約有多少人？

18．如圖，AB是⊙O的直徑，割線DA，DB分別交⊙O于點E，C，且AD=AB，∠DAB是銳角，連接EC、OE、OC．
（1）求證：△OBC≌△OEC．
（2）填空：
①若AB=2，則△AOE的最大面積為 ；
②當∠ABD的度數為 時，四邊形OBCE是菱形．

19．如圖，我南海某海域A處有一艘捕魚船在作業時突遇特大風浪，船長馬上向我國漁政搜救中心發出求救信號，此時一艘漁政船正巡航到捕魚船正西方向的B處，該漁政船收到漁政求救中心指令后前去救援，但兩船之間有大片暗礁，無法直線到達，于是決定馬上調整方向，先向北偏東60°方向以每小時30海里的速度航行半小時到達C處，同時捕魚船低速航行到A點的正北1.5海里D處，漁政船航行到點C處時測得點D在南偏東53°方向上．
（1）求CD兩點的距離；
（2）漁政船決定再次調整航向前去救援，若兩船航速不變，并且在點E處相會合，求∠ECD的正弦值．
（參考數據：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

20．已知關于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．
（1）試判斷原方程根的情況；
（2）若拋物線y=x2﹣（m﹣3）x﹣m與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，則A，B兩點間的距離是否存在最大或最小值？若存在，求出這個值；若不存在，請說明理由．
（友情提示：AB=|x2﹣x1|）
21．我市某風景區門票價格如圖所示，黃岡赤壁旅游公司有甲、乙兩個旅游團隊，計劃在“五一”小黃金周期間到該景點游玩．兩團隊游客人數之和為120人，乙團隊人數不超過50人，設甲團隊人數為x人．如果甲、乙兩團隊分別購買門票，兩團隊門票款之和為W元．
（1）求W關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若甲團隊人數不超過100人，請說明甲、乙兩團隊聯合購票比分別購票最多可可節約多少錢；
（3）“五一”小黃金周之后，該風景區對門票價格作了如下調整：人數不超過50人時，門票價格不變；人數超過50人但不超過100人時，每張門票降價a元；人數超過100人時，每張門票降價2a元，在（2）的條件下，若甲、乙兩個旅行團隊“五一”小黃金周之后去游玩，最多可節約3400元，求a的值．

22．閱讀并完成下面的數學探究：
（1）【發現證明】如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，小穎把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，從而發現EF=BE+FD，請你利用圖（1）證明上述結論．
（2）【類比延伸】如圖（2），四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，點E、F分別在邊BC、CD上，則當∠EAF與∠BAD滿足關系 時，仍有EF=BE+FD．
（3）【結論應用】如圖（3），四邊形ABCD中，AB=AD=80，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，點E、F分別在邊BC、CD上，且AE⊥AD，DF=40（），連E、F，求EF的長（結果保留根號）．
23．如圖①，在平面直角坐標系中，一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點A在y軸上，坐標為（0，﹣1），另一頂點B坐標為（﹣2，0），已知二次函數y=x2+bx+c的圖象經過B、C兩點．現將一把直尺放置在直角坐標系中，使直尺的邊A′D′∥y軸且經過點B，直尺沿x軸正方向平移，當A′D′與y軸重合時運動停止．
（1）求點C的坐標及二次函數的關系式；
（2）若運動過程中直尺的邊A′D′交邊BC于點M，交拋物線于點N，求線段MN長度的最大值；
（3）如圖②，設點P為直尺的邊A′D′上的任一點，連接PA、PB、PC，Q為BC的中點，試探究：在直尺平移的過程中，當PQ=時，線段PA、PB、PC之間的數量關系．請直接寫出結論，并指出相應的點P與拋物線的位置關系．
（說明：點與拋物線的位置關系可分為三類，例如，圖②中，點A在拋物線內，點C在拋物線上，點D′在拋物線外．）

中招數學模擬試卷
參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．計算（﹣2）+（﹣3）的結果是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
【考點】有理數的加法．
【分析】原式利用同號兩數相加的法則計算即可得到結果．
【解答】解：原式=﹣（2+3）=﹣5．
故選：A．

2．如圖所示的幾何體是由一個正方體切去一個小正方形成的，從左面看到的平面圖形為（ ）

A．B．C．D．
【考點】簡單組合體的三視圖；截一個幾何體．
【分析】根據從左面看得到的圖形是左視圖，可得答案．
【解答】解：從左面看是一個大正方形，大正方形的右上角是一個小正方形，因為是在對面，故小正方形應該是虛線，
故D符合題意，
故選：D．

3．移動互聯網已經全面進入人們的日常生活，截至1月，全國4G用戶總數達到3.86億，其中3.86億用科學記數法表示為（ ）
A．3.86×104B．3.86×106C．3.86×108D．0.162×109
【考點】科學記數法—表示較大的數．
【分析】利用科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
【解答】解：3.86億用科學記數法表示為：3.86×108．
故選：C．

4．如圖，直線a∥b，一塊含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如圖所示放置．若∠1=55°，則∠2的度數為（ ）

A．105°B．110°C．115°D．120°
【考點】平行線的性質．
【分析】如圖，首先證明∠AMO=∠2；然后運用對頂角的性質求出∠ANM=55°，借助三角形外角的性質求出∠AMO即可解決問題．
【解答】解：如圖，∵直線a∥b，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，而∠1=55°，
∴∠ANM=55°，
∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+55°=115°，
∴∠2=∠AMO=115°．
故選C．


5．不等式組的整數解的個數為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考點】一元一次不等式組的整數解．
【分析】先求出兩個不等式的解集，再求其公共解，然后寫出所有的整數解即可求出個數．
【解答】解：，
解不等式①得，x＞﹣，
解不等式②得，x≤1，
所以，不等式組的解集是﹣＜x≤1，
所以，不等式組的整數解有﹣1、0、1共3個．
故選C．

6．為了解某社區居民的用電情況，隨機對該社區10戶居民進行了調查，下表是這10戶居民4月份用電量的調查結果：
居民（戶）1324
月用電量（度/戶）40505560
那么關于這10戶居民月用電量（單位：度），下列說法錯誤的是（ ）
A．中位數是55B．眾數是60C．方差是29D．平均數是54
【考點】方差；加權平均數；中位數；眾數．
【分析】根據中位數、眾數、平均數和方差的概念分別求得這組數據的中位數、眾數、平均數和方差，即可判斷四個選項的正確與否．
【解答】解：用電量從大到小排列順序為：60，60，60，60，55，55，50，50，50，40．
A、月用電量的中位數是55度，故A正確；
B、用電量的眾數是60度，故B正確；
C、用電量的方差是39度，故C錯誤；
D、用電量的平均數是54度，故D正確．
故選：C．

7．已知二次函數y=﹣x2﹣7x+，若自變量x分別取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，則對應的函數值y1，y2，y3的大小關系正確的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1
【考點】二次函數圖象上點的坐標特征．
【分析】根據x1、x2、x3與對稱軸的大小關系，判斷y1、y2、y3的大小關系．
【解答】解：∵二次函數y=﹣x2﹣7x+，
∴此函數的對稱軸為：x=﹣=﹣=﹣7，
∵0＜x1＜x2＜x3，三點都在對稱軸右側，a＜0，
∴對稱軸右側y隨x的增大而減小，
∴y1＞y2＞y3．
故選：A．

8．如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內切圓，現將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG．點F，G分別在邊AD，BC上，連結OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則下列結論不成立的是（ ）

A．CD+DF=4B．CD﹣DF=2﹣3C．BC+AB=2+4D．BC﹣AB=2
【考點】三角形的內切圓與內心；翻折變換（折疊問題）．
【分析】設⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，證明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．設AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內切圓可得r=（a+b﹣c），所以c=a+b﹣2．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得（舍去），從而求出a，b的值，所以BC+AB=2+4．再設DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，從而得到CD﹣DF=，CD+DF=．即可解答．
【解答】解：如圖，

設⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，
∵將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，
∴OG=DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC=90°，
∵∠MOG+∠MGO=90°，
∴∠MOG=∠DGC，
在△OMG和△GCD中，

∴△OMG≌△GCD，
∴OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．
∵AB=CD，
∴BC﹣AB=2．
設AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半徑為r，
⊙O是Rt△ABC的內切圓可得r=（a+b﹣c），
∴c=a+b﹣2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b﹣2）2，
整理得2ab﹣4a﹣4b+4=0，
又∵BC﹣AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4=0，
解得（舍去），
∴，
∴BC+AB=2+4．
再設DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，
由勾股定理可得，
解得x=4，
∴CD﹣DF=，CD+DF=．
綜上只有選項A錯誤，
故選A．

二、填空題（每小題3分，共21分）
9．計算+（﹣1）2017= 2 ．
【考點】實數的運算．
【分析】原式利用算術平方根定義，以及乘方的意義計算即可得到結果．
【解答】解：原式=3﹣1=2，
故答案為：2

10．如圖，根據陰影面積的兩種不同的計算方法，驗證了初中數學的哪個公式．答： a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） ．

【考點】平方差公式的幾何背景．
【分析】首先用邊長是a的正方形的面積減去邊長是b的正方形的面積，求出左邊圖形的面積是多少；然后根據長方形的面積=長×寬，求出右邊陰影部分的面積，判斷出驗證了初中數學的哪個公式即可．
【解答】解：左邊圖形的面積是：a2﹣b2，
右邊圖形的面積是：（a+b）（a﹣b），
∴根據陰影面積的兩種不同的計算方法，驗證了初中數學的平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故答案為：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

11．有大小、形狀、顏色完全相同的5個乒乓球，每個球上分別標有數字1，2，3，4，5中的一個，將這5個球放入不透明的袋中攪勻，如果不放回的從中隨機連續抽取兩個，則這兩個球上的數字之和為偶數的概率是 ．
【考點】列表法與樹狀圖法．
【分析】列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可．
【解答】解：列表得：
（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）﹣
（1，4）（2，4）（3，4）﹣（5，4）
（1，3）（2，3）﹣（4，3）（5，3）
（1，2）﹣（3，2）（4，2）（5，2）
﹣（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）
∴一共有20種情況，這兩個球上的數字之和為偶數的8種情況，
∴這兩個球上的數字之和為偶數的概率是=．

12．在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，分別以A、C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧交于M、N兩點，作直線MN交AB于D、交AC于E，則∠DCB的度數為 12 度．

【考點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；作圖—基本作圖．
【分析】首先根據題意可得MN是AC的垂直平分線，根據垂直平分線的性質可得AD=DC，進而得到∠A=∠ACD=52°，然后再根據等腰三角形的性質計算出∠ACB的度數，進而得到答案．
【解答】解：由題意得：MN是AC的垂直平分線，
∵MN是AC的垂直平分線
∴AD=DC，
∴∠A=∠ACD=52°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=÷2=64°，
∴∠DCB=64°﹣52°=12°，
故答案為：12．

13．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，設點P（1，t）在反比例函數y=的圖象上，過點P作直線l與x軸平行，點Q在直線l上，滿足QP=OP．若反比例函數y=的圖象經過點Q，則k= 2+2或2﹣2 ．
【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征；勾股定理．
【分析】把P點代入y=求得P的坐標，進而求得OP的長，即可求得Q的坐標，從而求得k的值．
【解答】解：∵點P（1，t）在反比例函數y=的圖象上，
∴t==2，
∴P（1.2），
∴OP==，
∵過點P作直線l與x軸平行，點Q在直線l上，滿足QP=OP．
∴Q（1+，2）或（1﹣，2）
∵反比例函數y=的圖象經過點Q，
∴2=或2=，解得k=2+2或2﹣2
故答案為2+2或2﹣2．

14．如圖，在△ABC中，AB=6，將△ABC繞點B順時針旋轉60°后得到△DBE，點A經過的路徑為弧AD，則圖中陰影部分的面積是 6π ．

【考點】扇形面積的計算．
【分析】圖中陰影部分的面積=扇形ABD的面積+三角形DBE的面積﹣三角形ABC的面積．又由旋轉的性質知△ABC≌△DBE，所以三角形DBE的面積=三角形ABC的面積．
【解答】解：∵根據旋轉的性質知∠ABD=60°，△ABC≌△DBE，
∴S△ABC﹣S△DBE，
∴S陰影=S扇形ABD+S△DBE﹣S△ABC=S扇形ABD==6π．
故答案是：6π．

15．實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1：2：1，用兩個相同的管子在容器的5cm高度處連通（即管子底端離容器底5cm）．現三個容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如圖所示．若每分鐘同時向乙和丙注入相同量的水，開始注水1分鐘，乙的水位上升cm，則開始注入 ，， 分鐘的水量后，甲與乙的水位高度之差是0.5cm．

【考點】一元一次方程的應用．
【分析】由甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1：2：1，注水1分鐘，乙的水位上升cm，得到注水1分鐘，丙的水位上升cm，設開始注入t分鐘的水量后，甲與乙的水位高度之差是0.5cm，甲與乙的水位高度之差是0.5cm有三種情況：①當乙的水位低于甲的水位時，②當甲的水位低于乙的水位時，甲的水位不變時，③當甲的水位低于乙的水位時，乙的水位到達管子底部，甲的水位上升時，分別列方程求解即可．
【解答】解：∵甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1：2：1，
∵注水1分鐘，乙的水位上升cm，
∴注水1分鐘，丙的水位上升cm，
設開始注入t分鐘的水量后，甲與乙的水位高度之差是0.5cm，
甲與乙的水位高度之差是0.5cm有三種情況：
①當乙的水位低于甲的水位時，
有1﹣t=0.5，
解得：t=分鐘；
②當甲的水位低于乙的水位時，甲的水位不變時，
∵t﹣1=0.5，
解得：t=，
∵×=6＞5，
∴此時丙容器已向乙容器溢水，
∵5÷=分鐘，=，即經過分鐘丙容器的水到達管子底部，乙的水位上升，
∴，解得：t=；
③當甲的水位低于乙的水位時，乙的水位到達管子底部，甲的水位上升時，
∵乙的水位到達管子底部的時間為；分鐘，
∴5﹣1﹣2×（t﹣）=0.5，
解得：t=，
綜上所述開始注入，，分鐘的水量后，甲與乙的水位高度之差是0.5cm．

三、解答題（共75分）
16．在學習分式計算時有這樣一道題：先化簡÷，再選取一個你喜歡且合適的數代入求值．張明同學化簡過程如下：
解：÷
=÷（ 通分、因式分解 ）
=（ 分式的除法法則 ）
=（ 約分 ）
（1）在括號中直接填入每一步的主要依據或知識點；
（2）如果你是張明同學，那么在選取你喜歡且合適的數進行求值時，你不能選取的數有 2，﹣2，1 ．
【考點】分式的化簡求值．
【分析】（1）根據通分、約分、分式的除法法則解答；
（2）根據分式有意義的條件進行解答即可．
【解答】解：（1）原式═÷（通分、因式分解）
=（分式的除法法則）
=（約分）
故答案為：通分，分解因式；分式的除法法則；約分；

（2）∵x﹣4≠0，x﹣1≠0，
∴x≠±2，1．
故答案為：2，﹣2，1．

17．唐詩是我國古代文化中的隗寶，某市教育主管部門為了解本市初中生對唐詩的學習情況，進行了一次唐詩背誦大賽，隨機抽取了部分同學的成就（x為整數，總分100分），繪制了如下尚不完整的統計表．
組別成績分組（單位：分）頻數頻率
A50≤x＜60400.10
B60≤x＜7060c
C70≤x＜80a0.20
D80≤x＜901600.40
E90≤x≤100600.15
合計b1
根據以上信息解答下列問題：
（1）統計表中a= 80 ，b =400 ，c= 0.15 ；
（2）扇形統計圖中，m的值為 20 ，“D”所對應的圓心角的度數是 144 （度）；
（3）若參加本次背誦大賽的同學共有8000人，請你估計成績在90分及以上的學生大約有多少人？

【考點】扇形統計圖；用樣本估計總體；頻數（率）分布表．
【分析】（1）首先根據A組的頻數和頻率確定b值，然后根據頻數÷樣本容量=頻率求得a和c的值即可；
（2）用整體1減去其他小組的百分比即可求得m的值；用周角乘以D所占的百分比即可求得其圓心角的度數；
（3）用學生總人數乘以90分以上的頻率即可求得人數．
【解答】解：（1）∵觀察頻數統計圖知：A組的頻數為40，頻率為0.1，
∴b=40÷0.1=400，
∴a=400×0.20=80，c=60÷400=0.15；
故答案為：80，400，0.15；
（2）∵m%=1﹣10%﹣15%﹣40%﹣15%=20%，
∴m=20，
D所在的扇形的圓心角為360×40%=144°，
故答案為：20，144；
（3）8000×15%=1200，
所以成績在90分及以上的學生大約有1200人．

18．如圖，AB是⊙O的直徑，割線DA，DB分別交⊙O于點E，C，且AD=AB，∠DAB是銳角，連接EC、OE、OC．
（1）求證：△OBC≌△OEC．
（2）填空：
①若AB=2，則△AOE的最大面積為 ；
②當∠ABD的度數為 60° 時，四邊形OBCE是菱形．

【考點】圓的綜合題．
【分析】（1）利用垂直平分線，判斷出∠BAC=∠DAC，得出EC=BC，用SSS判斷出結論；
（2）先判斷出三角形AOE面積最大，只有點E到直徑AB的距離最大，即是圓的半徑即可；
（3）由菱形判斷出△AOC是等邊三角形即可．
【解答】解：（1）連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AC⊥BD，
∵AD=AB，
∴∠BAC=∠DAC，
∴，
∴BC=EC，
在△OBC和△OEC中，
∴△OBC≌△OEC，
（2）∵AB是⊙O的直徑，且AB=2，
∴OA=1，
設△AOE的邊OA上的高為h，
∴S△AOE=OA×h=×1×h=h，
∴要使S△AOE最大，只有h最大，
∵點E在⊙O上，
∴h最大是半徑，
即h最大=1
∴S△AOE最大=，
故答案為：，
（3）由（1）知，BC=EC，OC=OB，
∵四邊形OBCE是菱形．
∴BC=OB=OC，
∴∠ABD=60°，
故答案為60°．


19．如圖，我南海某海域A處有一艘捕魚船在作業時突遇特大風浪，船長馬上向我國漁政搜救中心發出求救信號，此時一艘漁政船正巡航到捕魚船正西方向的B處，該漁政船收到漁政求救中心指令后前去救援，但兩船之間有大片暗礁，無法直線到達，于是決定馬上調整方向，先向北偏東60°方向以每小時30海里的速度航行半小時到達C處，同時捕魚船低速航行到A點的正北1.5海里D處，漁政船航行到點C處時測得點D在南偏東53°方向上．
（1）求CD兩點的距離；
（2）漁政船決定再次調整航向前去救援，若兩船航速不變，并且在點E處相會合，求∠ECD的正弦值．
（參考數據：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

【考點】解直角三角形的應用-方向角問題．
【分析】（1）過點C、D分別作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分別為G，F，根據直角三角形的性質得出CG，再根據三角函數的定義即可得出CD的長；
（2）如圖，設漁政船調整方向后t小時能與捕漁船相會合，由題意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，過點E作EH⊥CD于點H，根據三角函數表示出EH，在Rt△EHC中，根據正弦的定義求值即可．
【解答】解：（1）過點C、D分別作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分別為G，F，
∵在Rt△CGB中，∠CBG=90°﹣60°=30°，
∴CG=BC=×（30×）=7.5，
∵∠DAG=90°，
∴四邊形ADFG是矩形，
∴GF=AD=1.5，
∴CF=CG﹣GF=7.5﹣1.5=6，
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，
∵∠DCF=53°，
∴COS∠DCF=，
∴CD===10（海里）．
答：CD兩點的距離是10；
（2）如圖，設漁政船調整方向后t小時能與捕漁船相會合，
由題意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，
過點E作EH⊥CD于點H，則∠EHD=∠CHE=90°，
∴sin∠EDH=，
∴EH=EDsin53°=3t×=t，
∴在Rt△EHC中，sin∠ECD===．
答：sin∠ECD=．


20．已知關于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．
（1）試判斷原方程根的情況；
（2）若拋物線y=x2﹣（m﹣3）x﹣m與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，則A，B兩點間的距離是否存在最大或最小值？若存在，求出這個值；若不存在，請說明理由．
（友情提示：AB=|x2﹣x1|）
【考點】拋物線與x軸的交點；根的判別式．
【分析】（1）根據根的判別式，可得答案；
（2）根據根與系數的關系，可得A、B間的距離，根據二次函數的性質，可得答案．
【解答】解：（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，
∵（m﹣1）2≥0，
∴△=（m﹣1）2+8＞0，
∴原方程有兩個不等實數根；
（2）存在，
由題意知x1，x2是原方程的兩根，
∴x1+x2=m﹣3，x1 x2=﹣m．
∵AB=|x1﹣x2|，
∴AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2
=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，
∴當m=1時，AB2有最小值8，
∴AB有最小值，即AB==2

21．我市某風景區門票價格如圖所示，黃岡赤壁旅游公司有甲、乙兩個旅游團隊，計劃在“五一”小黃金周期間到該景點游玩．兩團隊游客人數之和為120人，乙團隊人數不超過50人，設甲團隊人數為x人．如果甲、乙兩團隊分別購買門票，兩團隊門票款之和為W元．
（1）求W關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若甲團隊人數不超過100人，請說明甲、乙兩團隊聯合購票比分別購票最多可可節約多少錢；
（3）“五一”小黃金周之后，該風景區對門票價格作了如下調整：人數不超過50人時，門票價格不變；人數超過50人但不超過100人時，每張門票降價a元；人數超過100人時，每張門票降價2a元，在（2）的條件下，若甲、乙兩個旅行團隊“五一”小黃金周之后去游玩，最多可節約3400元，求a的值．

【考點】一次函數的應用；一元二次方程的應用；一元一次不等式的應用．
【分析】（1）根據甲團隊人數為x人，乙團隊人數不超過50人，得到x≥70，分兩種情況：①當70≤x≤100時，W=70x+80=﹣10x+9600，②當100＜x＜120時，W=60x+80=﹣20x+9600，即可解答；
（2）根據甲團隊人數不超過100人，所以x≤100，由W=﹣10x+9600，根據70≤x≤100，利用一次函數的性質，當x=70時，W最大=8900（元），兩團聯合購票需120×60=7200（元），即可解答；
（3）根據每張門票降價a元，可得W=（70﹣a）x+80=﹣（a+10）x+9600，利用一次函數的性質，x=70時，W最大=﹣70a+8900（元），而兩團聯合購票需120（60﹣2a）=7200﹣240a（元），所以﹣70a+8900﹣=3400，即可解答．
【解答】解：（1）∵甲團隊人數為x人，乙團隊人數不超過50人，
∴120﹣x≤50，
∴x≥70，
①當70≤x≤100時，W=70x+80=﹣10x+9600，
②當100＜x＜120時，W=60x+80=﹣20x+9600，
綜上所述，W=
（2）∵甲團隊人數不超過100人，
∴x≤100，
∴W=﹣10x+9600，
∵70≤x≤100，
∴x=70時，W最大=8900（元），
兩團聯合購票需120×60=7200（元），
∴最多可節約8900﹣7200=1700（元）．
（3）∵x≤100，
∴W=（70﹣a）x+80=﹣（a+10）x+9600，
∴x=70時，W最大=﹣70a+8900（元），
兩團聯合購票需120（60﹣2a）=7200﹣240a（元），
∵﹣70a+8900﹣=3400，
解得：a=10．

22．閱讀并完成下面的數學探究：
（1）【發現證明】如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，小穎把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，從而發現EF=BE+FD，請你利用圖（1）證明上述結論．
（2）【類比延伸】如圖（2），四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，點E、F分別在邊BC、CD上，則當∠EAF與∠BAD滿足關系 ∠EAF=∠BAD 時，仍有EF=BE+FD．
（3）【結論應用】如圖（3），四邊形ABCD中，AB=AD=80，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，點E、F分別在邊BC、CD上，且AE⊥AD，DF=40（），連E、F，求EF的長（結果保留根號）．
【考點】四邊形綜合題．
【分析】（1）根據旋轉變換的性質和正方形的性質證明△EAF≌△GAF，得到EF=FG，證明結論；
（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉至△ADH，使AB與AD重合，證明△EAF≌△HAF，證明即可；
（3）延長BA交CD的延長線于P，連接AF，根據四邊形內角和定理求出∠C的度數，得到∠P=90°，求出PD、PA，證明∠EAF=∠BAD，又（2）的結論得到答案．
【解答】（1）證明：由旋轉的性質可知，△ABE≌△ADG，
∴BE=DG，AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠ADG=∠ABE=90°，
∴G、D、F在同一條直線上，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAG=90°，又∠EAF=45°，
∴∠FAG=45°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF，
∴EF=FG，
∴EF=BE+FD；
（2）當∠EAF=∠BAD時，仍有EF=BE+FD．
證明：如圖（2），把△ABE繞點A逆時針旋轉至△ADH，使AB與AD重合，
則BE=DH，∠BAE=∠DAH，∠ADH=∠B，又∠B+∠D=180°，
∴∠ADH+∠D=180°，即F、D、H在同一條直線上，
當∠EAF=∠BAD時，∠EAF=∠HAF，
由（1）得，△EAF≌△HAF，
則EF=FH，即EF=BE+FD，
故答案為：∠EAF=∠BAD；
（3）如圖（3），延長BA交CD的延長線于P，連接AF，
∵∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，
∴∠C=30°，
∴∠P=90°，又∠ADC=120°，
∴∠ADP=60°，
∴PD=AD×cos∠ADP=40，AP=AD×sin∠ADP=40，
∴PF=PD+DF=40，
∴PA=PF，
∴∠PAF=45°，又∠PAD=30°，
∴∠DAF=15°，
∴∠EAF=75°，∠BAE=60°，
∴∠EAF=∠BAD，
由（2）得，EF=BE+FD，又BE=BA=80，
∴EF=BE+FD=40（）．



23．如圖①，在平面直角坐標系中，一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點A在y軸上，坐標為（0，﹣1），另一頂點B坐標為（﹣2，0），已知二次函數y=x2+bx+c的圖象經過B、C兩點．現將一把直尺放置在直角坐標系中，使直尺的邊A′D′∥y軸且經過點B，直尺沿x軸正方向平移，當A′D′與y軸重合時運動停止．
（1）求點C的坐標及二次函數的關系式；
（2）若運動過程中直尺的邊A′D′交邊BC于點M，交拋物線于點N，求線段MN長度的最大值；
（3）如圖②，設點P為直尺的邊A′D′上的任一點，連接PA、PB、PC，Q為BC的中點，試探究：在直尺平移的過程中，當PQ=時，線段PA、PB、PC之間的數量關系．請直接寫出結論，并指出相應的點P與拋物線的位置關系．
（說明：點與拋物線的位置關系可分為三類，例如，圖②中，點A在拋物線內，點C在拋物線上，點D′在拋物線外．）

【考點】二次函數綜合題．
【分析】（1）求C點坐標，考慮作x，y軸垂線，表示橫縱坐標，易得△CDA≌△AOB，所以C點坐標易知．進而拋物線解析式易得．
（2）橫坐標相同的兩點距離，可以用這兩點的縱坐標作差，因為兩點分別在直線BC與拋物線上，故可以利用解析式，設橫坐標為x，表示兩個縱坐標．作差記得關于x的二次函數，利用最值性質，結果易求．
（3）計算易得，BC=，因為Q為BC的中點，PQ=恰為半徑，則易作圓，P點必在圓上．分三種情況進行解答．
【解答】解：（1）如圖1，過點C作CD⊥y軸于D，此時△CDA≌△AOB，
∵△CDA≌△AOB，
∴AD=BO=2，CD=AO=1，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（﹣1，﹣3）．
將B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3）代入拋物線y=x2+bx+c，
解得b=，c=﹣3，
∴拋物線的解析式為y=x2+x﹣3．

（2）設lBC：y=kx+b，
∵B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3），
∴，
解得，
∴lBC：y=﹣3x﹣6，
設M（xM，﹣3xM﹣6），N（xN，xN2+xN﹣3），
∵xM=xN（記為x），yM≥yN，
∴線段MN長度=﹣3x﹣6﹣（x2+x﹣3）=﹣（x+）2+，（﹣2≤x≤﹣1），
∴當x=﹣時，線段MN長度為最大值．

（3）答：P在拋物線外時，BP+CP=AP；P在拋物線上時，BP+CP=AP；P在拋物線內，PC﹣PB=PA．
分析如下：

如圖2，以Q點為圓心，為半徑作⊙Q，
∵OB=2，OA=1，
∴AC=AB==，
∴BC==，
∴BQ=CQ=，
∵∠BAC=90°，
∴點B、A、C都在⊙Q上．
①P在拋物線外，

如圖3，圓Q與BD′的交點即為點P，連接PB，PC，PA，延長PC交y軸于點D
∵BC為直徑，
∴∠BPC=90°
∵BD′與y軸平行
∴∠ADC=90°，且D點為拋物線與y軸交點
∴PD∥x軸
易得PC=1，PB=3，PA=2
∴BP+CP=AP．

②P在拋物線上，此時，P只能為B點或者C點，
∵AC=AB=，
∴AP=，
∵BP+CP=BC=，
∴BP+CP=AP．

③P在拋物線內，有兩種情況，如圖4，5，
如圖4，在PC上取BP=PT，

∵BC為直徑，
∴∠BPC=90°
∴△BPT為等腰直角三角形
∴∠PBT=45°=∠1+∠2
∵∠ABC=∠3+∠2=45°
∴∠1=∠3
∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）
∴△BPA∽△BTC
∴
∵PC=PT+CT
∴PC=PT+PA=PB+PA
∴PC﹣PB=PA
同理，如圖5，也可得PB﹣PC=PA．

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