將畢達哥拉斯定理拓展到無限，會發生什么？,現在下載,新用戶還送新人禮包,

畢達哥拉斯定理幾乎是將畢所有人最早學到的數學定理之一：一個直角三角形最長的邊（斜邊）的平方，等于另兩條邊（直角邊）的達哥定理到無平方和。

撰文：Ethan Siegel，拓展天體物理學家，發生作者，將畢科學傳播工作者，達哥定理到無在多所大學教授物理與天文學。拓展

畢達哥拉斯定理幾乎是發生所有人最早學到的數學定理之一：一個直角三角形最長的邊（斜邊）的平方，等于另兩條邊（直角邊）的將畢平方和。滿足這一定理的達哥定理到無第一個整數組合是三邊分別為 3、4 和 5 的拓展三角形：32 + 42 = 52。其他一些同樣滿足這一關系的發生整數組還包括：

當然這樣的整數組還有很多。但 3、將畢4 和 5 是達哥定理到無其中最特殊的一組，因為它們是拓展唯一滿足畢達哥拉斯定理的連續整數。

這個簡單的乘法表沿對角線展示了前 20 個正整數的平方數。神奇的是，不僅 2 + 42 = 52 成立，102 + 112 + 122 = 132 + 142 也同樣成立。這種關系并不是巧合。

事實上，它們是唯一滿足等式 a2 + b2 = c2 的連續整數。但是，如果你允許在這個等式囊括更多數字，或許就可以有其它連續整數能滿足更復雜的等式，比如 a2 + b2 + c2 = d2 + e2。而有意思的是，這個等式也只有一個連續整數組解：102 + 112 + 122 = 132 + 142。

原因是這樣的。

直角三角形任意兩條直角邊的平方和，總是等于斜邊的平方。但這種關系遠不止一個簡單的等式。

認識畢達哥拉斯定理的最巧妙的方法之一是假設有一個邊長為 b 的正方形，這個正方形的面積也就是 b2。要使 a2 + b2 = c2 成立，并且希望 a、b 和 c 是連續的整數，那么就自然對 a 和 c 有會產生極大的限制。

這意味著 c 必須等于（b + 1），而 a 必須等于（b - 1），我們可以運用一點代數知識來求解這個等式。

因此，b 必須等于 0（這就沒有意義了）或 4，其中 4 就是我們之前看到的畢達哥拉斯等式，也就是 32 + 42 = 52 的情況。

圖上方的一個邊長為 b 的正方形（藍色）可以分成四塊。如果沿著邊長為（b-1）的正方形（黃色）的邊正確地堆疊它們，則可以得到邊長為（b+1）的正方形（綠色），這是理解畢達哥拉斯定理的另一種方法。

但我們也可以用圖形來解決這個問題。如果從一個邊長為 b 的正方形開始，把它分成寬為 1 、長為 b 的細長條。然后把這些細長條圍在一個小一點的正方形 [也就是邊長是 (b - 1) 的正方形]四周 ，從而得到一個更大的正方形[也就是邊長是 (b + 1) 的正方形]。因為正方形有 4 條邊，因此唯一做到這一點方法是，你得有 4 個長條，每邊加上一條。

上圖清楚地顯示了如何完成它：

把中間的正方形分成 b 塊，每塊的寬是 1，

把這些細塊放在更小的正方形 [這個正方形的邊長是 a，即 (b - 1)]周圍，

最后得到一個更大的正方形[這個正方形的邊長是 c，即 (b + 1)]。

邊長為 3、4、5 的直角三角形，是滿足畢達哥拉斯定理的第一組整數，也是滿足該等式的唯一一組連續整數。

這是唯一能讓等式 a2 + b2 = c2 成立的連續整數解。如果把那個中等大小的正方形變得更大或更小，都無法得到正確的條數圍在較小的正方形周圍。對于 a2 + b2 = c2 來說，只有 3、4 和 5 的這組連續整數能讓等式成立。

但是，為什么只局限在三個數字呢？對于任何奇數個連續整數，都可能找到滿足這種關系的連續整數，比如：

等等等等。

等式 102 + 112 + 122 = 132 + 142 的兩邊都等于 365。在這幅 1895 年的畫作中，它被用另一種形式——心算——流傳了下來。| 圖片來源：NIKOLAY BOGDANOV-BELSKY

事實上，如果考慮第二種等式，也就是 a2 + b2 + c2 = d2 + e2，你會發現也只有一種連續整數組合能使等式成立：102 + 112 + 122 = 132 + 142。等式左邊的 100 + 121 + 144 相加等于 365，右邊的 169 + 196 相加也等于365。

用代數方法可以求解這類等式，但花的時間可能會有點多。解到最后你會發現中間的數字 c 必須是 12（或 0），因此完整的等式是 102 + 112 + 122 = 132 + 142。

但如果用之前的那種圖形方法，你會發現還可以用一種直觀的方法找到答案。

同樣，如果我們想解構一個正方形，并用它把兩個較小的正方形變成兩個較大的正方形，我們需要 4 個單位來調整一個正方形，需要8個單位來調整另一個正方形。這意味著一個邊長 12 的正方形，可以分別將邊長為 11 和 10 的正方形，變成邊長為 13 和 14 的正方形。

和之前一樣，我們取中間的正方形（它的邊長是 c），并將其分成寬是 1、長是 c 的細長條。不過，與第一次不同的是，這次我們還有另外兩個正方形，我們需要用這些細長條來把這兩個正方形變得更大：

把一個較小的正方形[邊長是 (c - 1)] 變成一個較大的正方形 [邊長都是 (c + 1)]，

把一個更小的正方形 [邊長是 (c - 2)] 變成一個更大的正方形[邊長都是 (c + 2)]。

就像上次一樣，為了完成第一個正方形，我們總共需要 4 個寬度為 1 的細長條；但要實現第二個正方形，就還需要 4 條寬度為 2 的細長條。

如果我們想用一個邊長為 c 的正方形將兩個較小的正方形 [邊長分別為 (c-1) 和 (c-2)] 變成兩個較大的正方形 [邊長分別為 (c+1) 和 (c+2) ]，我們需要 c=12 才能實現。

也就是說，只有當中間正方形的邊長是12時，等式才成立，這就是為什么我們會得到等式 102 + 112 + 122 = 132 + 142。如果這是一個邊長為 12 的正方形，它可以被分成 12 個長條，你取其中 4 條（4 × 12 = 48），將 112 變成 132（121+48=169）。類似地，還可以用 8 條長條（8 × 12 = 96），并將 102 轉換為 142（100 + 96 = 196）。這也就是 a2 + b2 + c2 = d2 + e2 的唯一連續整數解。

從這里開始，你可能隱約發現了一種規律，從數學的角度來看，這種規律很有趣。如果下一步我們找到包含了更多數字的等式的解是什么，我們就可以更清楚地看到這一點。

換言之，我們要如何找到 a2 + b2 + c2 + d2 = e2 + f2 + g2 的解？

取 4 個連續整數的平方和，讓它們等于接下來的 3 個整數的平方和，這是第三個可以寫下來代表畢達哥拉斯游程的可能等式。

現在，我們還是要采用類似的方法，把三個較小的正方形變成更大的正方形：

將邊長為  (d - 1) 的正方形變成邊長為 (d + 1) 的正方形，需要 4 個單位長度，

將邊長為 (d - 2) 的正方形變成邊長為 (d + 2) 的正方形，需要 8 個單位長度，

將邊長為 (d - 3) 的正方形變成邊長為 (d + 3) 的正方形，需要 12 個單位長度。

如果中間的正方形恰好是邊長為 4 + 8 + 12 = 24，就可以給這個等式提供可能的解，也就是 212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 +272。我們可以通過計算來驗證一下，441 + 484 + 529 + 576 = 625 + 676 + 729，等式兩邊都等于 2030，也就是等式成立。

這幅圖代表第三個畢達哥拉斯游程，說明了為什么 24 是中間正方形邊長的關鍵數字，它是等式 a2 + b2 + c2 + d2 = e2 + f2 + g2 的解。

在數學中，這類數列有一個特殊的名字，叫畢達哥拉斯游程（Pythagorean Runs），它可以追溯到畢達哥拉斯定理及其原始解 32 + 42 = 52。這些數列中的中間數按 4、12、24、40、60、84、112……依此出現，可以一直排到無窮大。所以如果你想知道接下來的滿足這類等式的數列是什么，你會得到：

這看似瘋狂的數學巧合，其實有著深刻而直接的解釋。

一年（非閏年）中有 365 天，102 + 112 + 122 = 132 + 142 = 365。但上述數學事實與這一歷法完全沒有關系，也與地球的自轉和繞太陽的公轉沒有關系。這種數學關系是畢達哥拉斯幾何的直接結果，它比單純的代數更直觀，一年的天數反而在這里純粹是個巧合。

畢達哥拉斯只從 a2 + b2 = c2 開始，它有 3、4、5 的唯一一組連續整數解。但是，我們可以任意擴展它，對于每一個可以寫下的奇數項的等式，都只有一組連續整數的唯一解。這些畢達哥拉斯游程受一類精巧的數學結構來控制，通過了解平方是如何運作的，我們也可以理解為什么它們不可能以其他方式變化。

原文標題“This One Equation, 102 + 112 + 122 = 132 + 142, Takes Pythagoras To A Whole New Level”，于2020年3月6日發表于Forbes，

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